||x||=sup_{x'\in B_{X'}|x'(x)| < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe | In einem normierten Raum X gilt
[mm]||x||=\sup_{x'\in B_{X'}}|x'(x)| \forall x\in X[/mm]
(Wobei X' der zugehörige Dualraum und [mm] B_{X'} [/mm] die abgeschlossene Einheitskugel draus ist) |
Hallo!
Ich stehe wiedermal fürchterlich aufm Schlauch...Im Buch ist der Beweis nur kurz skizziert. Bei der Richtung [mm] \ge [/mm] steht bloß: Folgt aus der Definition von ||x'||....
Wie soll aus [mm] ||x'||=\sup_{x\in B_X}|x'(x)|\quad ||x||\ge\sup_{x'\in B_{X'}}|x'(x)| [/mm] folgen??
Kann mir da bitte jemand einen Tipp geben? Ich sehs einfach nicht?!
Gruß
Angelika
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Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 13:02 Do 16.09.2010 | Autor: | fred97 |
> In einem normierten Raum X gilt
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> [mm]||x||=\sup_{x'\in B_{X'}}|x'(x)| \forall x\in X[/mm]
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> (Wobei X' der zugehörige Dualraum und [mm]B_{X'}[/mm] die
> abgeschlossene Einheitskugel draus ist)
> Hallo!
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> Ich stehe wiedermal fürchterlich aufm Schlauch...Im Buch
> ist der Beweis nur kurz skizziert. Bei der Richtung [mm]\ge[/mm]
> steht bloß: Folgt aus der Definition von ||x'||....
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> Wie soll aus [mm]||x'||=\sup_{x\in B_X}|x'(x)|\quad ||x||\ge\sup_{x'\in B_{X'}}|x'(x)|[/mm]
> folgen??
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> Kann mir da bitte jemand einen Tipp geben? Ich sehs einfach
> nicht?!
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> Gruß
>
> Angelika
O.B.d.A. sei x [mm] \ne [/mm] 0 und s:= [mm] sup_{x'\in B_{X'}}|x'(x)| [/mm]
1. Für $x' [mm] \in [/mm] X'$ mit $||x'||=1 $ ist $|x'(x)| [mm] \le [/mm] ||x'||*||x||= ||x||$, somit ist $s [mm] \le [/mm] ||x||$
2. Aus einer Folgerung aus dem Satz von Hahn-Banach erhält man ein $x' [mm] \in [/mm] X'$ mit :
$||x'||=1$ und $x'(x)= ||x||$.
Somit ist auch $||x|| [mm] \le [/mm] s$
FRED
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Vieln Dank Fred!
(Hätte nicht damit gerechnet die Folgerung dabei verwenden zu müssen....)
Achso doch du hast damit ja die andere Richtung bewiesen, so hatte ich das auch gemacht.
Nur 1) war mir nicht klar...Warum eigentlich?! Sieht nicht so wild aus
Gruß
Angelika
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